在学习线性代数时，我们经常会接触到向量的内积和外积。其中，外积是指两个向量的叉乘或者叉积，在三维空间中得到一个新的向量；而内积则是两个向量相乘再求和得到一个标量。本文将主要探讨平行向量进行外积后所得到的结果，并且介绍一下在求解正交基和判断两个平面是否垂直时，如何运用内积与正交向量组。

首先，我们需要明确一点：对于任意两个平行且非零的向量a、b来说，它们进行外积后所得到的结果为0。这是因为这两个平行且非零的向量所张成出来的面只有一个方位角度（0或180度），因此不可能存在垂直于它们俩同时也垂直于这个面（即法线）方位角度为90度以上或者270度以下（因为夹角最大只能达到90度）。而根据叉乘公式可知：

$$

begin{aligned}

atimes b&=left| begin{matrix} i & j & k a_1 & a_2 & a_3 b_1 & b_2 & b_3 end{matrix} right|

&=(a_2b_3-a_3b_2)i-(a_1b_3-a_3b_1)j+(a_1b_2-a_2b1)k

end{aligned}

很明显，如果向量a、b平行，则它们的对应分量之间也是相等的。所以，根据叉乘公式可知，该向量的每一维度都是0，即外积结果为0。

其次，我们来看一下内积与正交向量组如何应用在求解正交基和判断两个平面是否垂直上。首先需要了解什么是正交基和垂直平面。

正交基：若向量空间V中有一个由n个线性无关的向量组成的序列B={v1,v2,……,vn}满足：

=left{

&0, i≠j

&1, i=j

right.

则称B为V中的一个正交基。

垂直平面：在三维空间中，若两个非零且不共线的向量A、B所张成出来的平面S上任意一条直线L均与另一个不属于S内部或外部但过这条直线L点P（即L∩S=P）且与A、B均垂直的向量C有且仅有一个，则称向量A、B所张成的平面S为垂直平面。

在求解正交基时，我们需要利用到向量内积的性质：若两个非零向量a、b之间夹角为θ，则它们的内积为：

acdot b=|a||b|cos theta

根据上式可知，当θ=90度或者π/2时，两个向量的内积值最小，即0。因此，在求解正交基时可以通过将原始向量组中每个元素与前面已经求出来的所有元素进行内积运算，并将其减去对应分量上投影得到新的一列元素。这样，在新生成出来的一列元素与前面已经存在于基中所有元素进行对比后发现它们之间也是垂直关系时，就可以将其加入到当前正交基中。

而在判断两个平面是否垂直时，则需要利用到“法线”这一概念。在三维空间中，如果一个平面S所对应法线方位角度与另一个平面T所对应法线方位角度相差90度或者270度，则认为这两个平面是垂直关系。而根据叉乘公式可知：两个不共线且非零三维矢量的叉积得到的结果为一个垂直于原来两个矢量所在平面的矢量。因此，我们可以先求出两个平面所对应法线方向上单位向量a、b，然后计算它们之间的内积。若内积值为0，则说明这两个平面是垂直关系。

综上所述，平行向量进行外积后得到的结果为0，在求解正交基和判断两个平面是否垂直时可以运用内积与正交向量组。通过了解这些知识点，并且能够灵活地将其应用在实际问题中，相信同学们会更好地掌握线性代数这门课程。