• 本文目录导读：
• 1、点到平面的距离公式
• 2、空间直线到平面的距离公式

作为数学中一个重要的分支，空间几何涉及到点、线、面等概念，并逐渐发展出了自己独特的理论体系。在实际应用中，我们经常需要计算点与平面之间的距离以及空间直线与平面之间的距离。本文将介绍如何通过向量法推导出这些公式。

一、点到平面的距离公式

设有一个三维坐标系，其中某个平面方程为$Ax+By+Cz+D=0$，并设该平面上一点为$P_0(x_0,y_0,z_0)$。现在我们要求另外一个三维坐标系中任意一点$P(x,y,z)$与该平面之间的距离。

首先，我们可以将向量$overrightarrow{PP_0}$分解成垂直于该平面和在该平面内两个部分：$overrightarrow{PP_0}=overrightarrow{n}cdot|overrightarrow{PP_0}|+overrightarrow{p}$。

其中$overrightarrow{n}=(A,B,C)$是该平面法向量（因为它垂直于所有在该方向上移动后还在该平面内的向量，因此垂直于该平面），$|overrightarrow{PP_0}|$是$overrightarrow{PP_0}$的长度，而$overrightarrow{p}$是$overrightarrow{PP_0}$在该平面内的投影向量。显然，由于$overrightarrow{n}cdotoverrightarrow{p}=0$（两个向量垂直时它们的点积为零），因此有：

$$

begin{aligned}

|overrightarrow{PP_0}|&=sqrt{left(overrightarrow{n}cdot|overrightarrow{PP_0}|right)^2+|vec p|^2}

&=frac{|Ax+By+Cz+D|}{sqrt{{A^2+B^2+C^2}}}

end{aligned}

这就是点到平面的距离公式。

二、空间直线到平面的距离公式

接下来我们考虑如何计算一条空间直线$L:vec r=vec a+tvec b$与一个三维坐标系中某个平面之间的距离。

同样设该平面方程为$Ax+By+Cz+D=0$。我们可以将$L$上任意一点$p(x,y,z)$表示为$p=vec a+tvec b$，并将其代入方程得：

A(vec a+t vec b)_x+B(vec a+t vec b)_y+C(vec a +t vec b)_z + D= 0

整理得：

t=frac{-(Ax+By+Cz+D)}{(Avec b_x+Bvec b_y+Cvec b_z)}

将$t$代入$overrightarrow{pq}=overrightarrow{p}-overrightarrow{q}$中，其中$overrightarrow{q}$为$L$上距$p$最近的点，则有：

|overrightarrow {pq}|=|(vec a-t vec b)-p|=

left|frac{vec n cdot p + D}{|vec n|}right|

其中$vec n=(A,B,C)$是该平面法向量。因此，我们得到了空间直线到平面的距离公式。

通过向量法推导出点到平面的距离公式和空间直线到平面的距离公式，可以帮助我们更好地理解空间几何中相关概念，并在实际应用中更加方便地计算相关问题。